問題
問98
それぞれが独立に点灯/消灯の操作ができる5個のランプが並んでいる。2個以上のランプが点灯しているパターンは何通りあるか。ここで、全てが点灯しているパターンは1通り,いずれか1個が点灯しているパターンは5通りと数えるものとする。
- 4
- 10
- 26
- 32
[出典：ITパスポート試験 平成28年度春期 問98]
正解
正解は「ウ」です。
解説
正解は「ウ」の26通りです。 この問題は、5個のランプがそれぞれ点灯（ON）するか消灯（OFF）するかの2つの状態を持つ場合の組み合わせの数を計算するものです。まず、考えられるすべてのパターンの総数を求めます。ランプが5個あるので、それぞれのランプがON/OFFの2通りの状態を持つため、総数は2の5乗（2^5）で計算できます。2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32通りとなります。
次に、問題で指定されている条件「2個以上のランプが点灯しているパターン」に合わないパターンを総数から引いていきます。 条件に合わないパターンは以下の2つです。
- 「すべてが消灯しているパターン」：5個すべてがOFFの状態なので、これは1通りしかありません。
- 「いずれか1個が点灯しているパターン」：5個のランプのうち、1個だけがONの状態です。
例えば、1番目のランプだけON、2番目のランプだけON、…といった具合に5通りのパターンがあります。 したがって、求める「2個以上のランプが点灯しているパターン」の数は、総数32通りから、1個も点灯していない1通りと、1個だけ点灯している5通りを引いたものです。 計算すると、32 – 1 – 5 = 26通りとなります。
ア(4):
4通りは、すべてのランプが消灯しているパターンや、いずれか1個が点灯しているパターンを考慮に入れていないため、条件を満たしません。
イ(10):
10通りは、5個のランプから2個が点灯している組み合わせの数（C(5,2)=10）を指すと考えられますが、3個、4個、5個点灯するパターンが含まれていないため、不正解です。
エ(32):
32通りは、5個のランプのすべての点灯・消灯パターンの総数（2の5乗）であり、「2個以上のランプが点灯しているパターン」という問題の条件に合わないものが含まれています。
難易度
この問題は、基本的な組み合わせの考え方と、問題文に書かれている条件を正確に読み取る力が問われます。計算自体は難しくないのですが、「2個以上が点灯」という条件を満たすために、すべてのパターンから不要なパターンを差し引くという発想が必要になります。ITパスポート試験の計算問題としては、よく出題されるタイプの問題で、考え方を一度理解すれば対応しやすいでしょう。
用語補足
組み合わせ：
複数のものの中からいくつかを選ぶ方法の数のことです。選ぶ順番は関係ありません。例えば、5種類の飲み物から2種類を選ぶ組み合わせは、どれを先に選んでも結果は同じなので、10通りです。
2のn乗 (2^n)：
2をn回掛け合わせた数のことです。ONとOFFのように、2つの状態があるものの数を数えるときによく使われます。例えば、3つのスイッチがあれば、それぞれのスイッチがONかOFFかなので、2の3乗で8通りの状態があります。
総数：
ある条件下で考えられるすべての要素やパターンの合計数を指します。例えば、サイコロを2回振ったときの目の出方は、1回目が6通り、2回目も6通りなので、総数は6×6=36通りです。
排反事象：
同時に起こることがない事象のことです。この問題では「0個点灯」と「1個点灯」と「2個以上点灯」は同時に起こらないため、総数から「0個点灯」と「1個点灯」のパターン数を引くことで「2個以上点灯」のパターン数を求めることができます。
対策
この問題のポイントは、「2個以上のランプが点灯しているパターン」という条件をどう解釈するかです。すべての可能なパターン（総数）を計算し、そこから条件に合わないパターン（0個点灯、1個点灯）を正確に引くという考え方が重要です。数え上げの漏れや重複がないように、落ち着いて条件を整理し、具体的な数を書き出すなどして確認すると良いでしょう。組み合わせや順列の計算問題は頻出なので、基本的な計算方法をマスターしておくことが対策になります。
